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无差异与混合策略

第 8 课 · 多条行动线 EV 相同时 · 26 道练习题

无差异

两种行动的期望值相同时，它们就是无差异的。在一个平衡的博弈里这不是巧合，而是均衡的运作方式。下注方希望诈唬偶尔被跟、又不被跟得太多，于是把诈唬频率定在让跟注方的抓诈牌恰好赢到价格 —— 这时跟注和弃牌收益相同。跟注方反过来也只防守到让下注方的诈唬刚好打平 —— 这时诈唬和过牌收益相同。在这些点上求解器可以自由混合，你看到的频率（50/50、70/30）是让对手占不到便宜的那个混合，并不说明其中一个行动暗地里更好。

例子。K♠8♦4♣2♥9♠ 上你在大盲拿 K♥6♥，按钮打出满池的第三枪，20 进 20。跟 20 赢 40；你需要 20/(20+20+20) = 33%。K-6 赢所有落空听牌、输给所有更好的 K —— 一手纯粹的抓诈牌。如果按钮河牌下注里三分之一是诈唬，跟注三次里一次赢 40、两次输 20：40/3 − 40/3 = 0，和弃牌一样。所以本课两个答案都接受，跟注排在前面：它让对手没法随意诈唬你。

常见错误：以为无差异的局面里做什么都行。这里跟注和弃牌打平；加注不行 —— 它打走诈唬，只被更好的 K 跟注。

坚果 vs 纯空气

无差异还有一种更简单的形式：对手的行动不取决于你的行动。如果他在河牌的范围是从不跟注的纯空气，下注和过牌赢到的底池完全一样。下注什么也得不到，因为没有牌会跟；过牌什么也不损失，因为他的空气在摊牌时赢不了你。任何混合 —— 总是下注、总是过牌、一半一半 —— 期望值都相同。普遍的道理是：一次下注只从会对它做出反应的牌身上赚钱 —— 会跟的更差的牌，或会弃的更好的牌。对手范围里两样都没有时，下注就不是必须的，选择可以出于别的理由，比如让你的过牌范围里保留强牌。

例子。回到第 7 课 2♣7♦9♥J♠4♠ 的玩具模型（底池 100），但换个位置：现在是你拿着那手谁都赢不了的 J 暗三条，对手的范围是从不跟注的纯空气。下注 100：他弃牌，你赢 100。过牌：他的空气也过牌，你赢同样的 100。两个答案都接受。一个真实的近似无差异局面：A♦9♣5♠3♥2♣ 上的 A♠8♠（底池 14），按钮转牌过牌之后你没有位置。小注会被更差的 A 和 9 跟注；过牌则让按钮用更差的 A 薄价值下注、用落空的听牌诈唬你。两条线从同一批牌身上赚钱 —— 本课把小注排在前面，过牌也接受。

常见错误：拿到坚果就自动下注。只有某些更差的牌会跟时，拿坚果下注才比过牌好。

不要过度拟合频率

求解器的输出常常把一手牌拆在两种行动之间，比如 70% 下注、30% 过牌。把它读成关于这手牌的信息，而不是要你精确到小数去随机。混合的牌处在两组牌的边界附近：70/30 的牌基本上是下注，偶尔用来保护过牌范围；50/50 的牌两条线赚得差不多。面对平衡的对手，你挑一个行动并始终如一地执行，几乎没有损失。面对不平衡的真实对手，打平就会被打破 —— 而且朝着他犯错的方向打破。

例子。回到 K♠8♦4♣2♥9♠ 上的 K♥6♥ 面对满池河牌下注（跟 20 赢 40）。如果按钮的下注里三分之一是诈唬，跟注和弃牌都是 0。如果五次下注里只有一次是诈唬，跟注价值 40 × 0.2 − 20 × 0.8 = −8 个筹码：弃牌。如果他的下注一半是诈唬，跟注价值 40 × 0.5 − 20 × 0.5 = +10 个筹码：跟注。手牌没变，变的是对手。你自己的下注也是同理：面对弃牌过多的玩家，多诈唬；面对跟注站，少诈唬，价值下注打得更薄。

常见错误：把求解器的频率当成对每个对手都固定不变的规则。频率描述的是一个平衡点；知道眼前的对手偏向哪边之后，就去剥削他。

本课小结

• 抓诈牌面对恰好等于价格的下注（跟注与弃牌打平）→ 两者都对；选一个并始终如一，绝不加注。
• 河牌拿坚果、对手范围从不跟注 → 下注或过牌都行；没有牌会付钱，哪条线都不多赚。
• 求解器输出里的混合频率（70/30、50/50）→ 读成「接近边界」，而不是照抄的规则。
• 对手诈唬的比例高于价格 → 抓诈牌跟注；低于价格 → 弃掉。
• 对手弃牌过多 → 多诈唬；跟注站 → 少诈唬，价值下注打得更薄。

本课样题

常见问题

本课用到的术语

范围(手牌范围) · 位置(有位置与无位置) · 抓诈牌 · 无差异(混合策略) · 开枪(第二枪与第三枪) · 价值下注 · 薄价值下注 · 跟注站

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